Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 20,5. Найдите BC, если AC = 9.

Решение:

Центр описанной окружности лежит на стороне AB, значит AB является диаметром треугольника ABC. Так как AB — диаметр, то угол ACB прямой, т.е. \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABC. Мы знаем длину одного катета (AC = 9) и радиус описанной окружности (R = 20,5). Диаметр окружности равен \( 2R = 2 \cdot 20,5 = 41 \). В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна диаметру описанной окружности, значит, AB = 41.

Используем теорему Пифагора для нахождения второго катета BC:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 9^2 + BC^2 = 41^2 \]

\[ 81 + BC^2 = 1681 \]

\[ BC^2 = 1681 - 81 \]

\[ BC^2 = 1600 \]

\[ BC = \sqrt{1600} \]

\[ BC = 40 \]

Ответ: 40