Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удалён от концов её боковой стороны соответственно на 15 см и 20 см. Найдите радиус окружности и периметр трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, в которую вписана окружность с центром O. Боковая сторона CD разделена точкой касания окружности на отрезки 15 см и 20 см.

Обозначим отрезки касательных, проведенных из точки C и D к окружности, как CK = 15 см и DL = 20 см соответственно.

Так как в прямоугольной трапеции боковая сторона является высотой, то диаметр окружности равен длине этой боковой стороны. Таким образом, $$CD = 15 + 20 = 35$$ см.

Радиус окружности равен половине диаметра: $$r = \frac{CD}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$$ см.

Теперь найдем периметр трапеции. Так как в четырехугольник можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны. В нашей трапеции это означает, что $$AB + CD = BC + AD$$.

Следовательно, периметр трапеции равен $$P = AB + BC + CD + AD = 2(AB + CD)$$.

Поскольку трапеция прямоугольная, $$AB = 2r = 35$$ см.

Таким образом, $$P = 2(35 + 35) = 2 \cdot 70 = 140$$ см.