Центральный угол окружности длиной 30π см равен 84°. Найдите: а) длину дуги, на которую опирается этот угол; б) площадь сектора, ограниченного этой дугой.

Ответ: а) 7π см, б) 52.5π см²

Решение:

Длина окружности C связана с радиусом r формулой: C = 2πr. Зная длину окружности, найдем радиус:

Шаг 1: Находим радиус окружности.

\[ 30\pi = 2\pi r \] \[ r = \frac{30\pi}{2\pi} = 15 \text{ см} \]

Шаг 2: Вычисляем длину дуги.

Длина дуги l, соответствующей центральному углу α (в градусах), вычисляется по формуле:

\[ l = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r \]

Подставляем известные значения:

\[ l = \frac{84}{360} \cdot 2\pi \cdot 15 = \frac{84}{360} \cdot 30\pi = \frac{7}{30} \cdot 30\pi = 7\pi \text{ см} \]

Шаг 3: Вычисляем площадь сектора.

Площадь сектора S, соответствующего центральному углу α (в градусах), вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{84}{360} \cdot \pi \cdot 15^2 = \frac{7}{30} \cdot 225\pi = \frac{7 \cdot 15}{2} \pi = \frac{105}{2} \pi = 52.5\pi \text{ см}^2 \]

Ответ: а) 7π см, б) 52.5π см²