Центры Q и T описанной и вписанной окружностей треугольника EFG расположены на одной прямой с его вершиной G. Известны длины двух сторон: EF = 21 и EG = 27. Найдите периметр треугольника.

Решение:

В данной задаче центры описанной (Q) и вписанной (T) окружностей треугольника EFG лежат на одной прямой с вершиной G. Это возможно только в том случае, если треугольник EFG является прямоугольным, и вершина G — прямой угол.

В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны. Если G — вершина прямого угла, то стороны EG и EF являются катетами.

Длины сторон даны:

• EG = 27 (катет)
• EF = 21 (катет)

Чтобы найти периметр, нам нужно знать длину третьей стороны FG (гипотенузы). Воспользуемся теоремой Пифагора: \( FG^2 = EG^2 + EF^2 \)

\[ FG^2 = 27^2 + 21^2 \]

\[ FG^2 = 729 + 441 \]

\[ FG^2 = 1170 \]

\[ FG = \sqrt{1170} = \sqrt{9 \cdot 130} = 3\sqrt{130} \]

Периметр треугольника P_EFG = EF + EG + FG

\[ P_{EFG} = 21 + 27 + 3\sqrt{130} \]

\[ P_{EFG} = 48 + 3\sqrt{130} \]

Ответ: 48 + 3\(\sqrt{130}\).