ЦI 2.1.18. Два простых числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Перебираем простые числа, не превышающие 500, и оставляем пары с разностью 2:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• n = 87: 521 и 523 — оба числа простые, значит, это пара близнецов;
• n = 135: 809 и 811 — оба числа простые, значит, это пара близнецов;
• n = 165: 989 и 991. Число 989 составное: 989 = 23 · 43, поэтому эта пара не является парой простых чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел подходят значения k от 2 до 16. Проверяем полученные пары: близнецами не являются те, в которых хотя бы одно число составное:

(23, 25), (35, 37), (47, 49), (53, 55), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (89, 91), (95, 97).

Например, составные числа в этих парах: 25 = 5², 35 = 5 · 7, 49 = 7², 55 = 5 · 11, 65 = 5 · 13, 77 = 7 · 11, 85 = 5 · 17, 91 = 7 · 13, 95 = 5 · 19.