Цилиндр получен вращением квадрата вокруг прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите объем полученного цилиндра, если площадь квадрата равна 63.

Решение:

Когда квадрат вращается вокруг своей стороны, образуется цилиндр. Высота цилиндра равна стороне квадрата (h), а радиус основания цилиндра равен стороне квадрата (r).

Площадь квадрата равна \( S = a^2 \).

По условию \( S = 63 \), значит, сторона квадрата \( a = \sqrt{63} \).

Таким образом, высота цилиндра \( h = \sqrt{63} \) и радиус основания \( r = \sqrt{63} \).

Объем цилиндра вычисляется по формуле \( V = \pi r^2 h \).

Подставим значения:

\[ V = \pi (\sqrt{63})^2 \cdot \sqrt{63} \]

\[ V = \pi \cdot 63 \cdot \sqrt{63} \]

Упростим \( \sqrt{63} \): \( \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7} \).

\[ V = 63 \pi \cdot 3\sqrt{7} = 189\pi\sqrt{7} \]

Ответ: $$189\pi\sqrt{7}$$