ЦЦ 2.118. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди простых чисел меньше 500 получаем пары: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463). Итого 24 пары.

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. n = 87: 6 · 87 − 1 = 521; 6 · 87 + 1 = 523 — пара (521, 523).
2. n = 135: 6 · 135 − 1 = 809; 6 · 135 + 1 = 811 — пара (809, 811).
3. n = 165: 6 · 165 − 1 = 989; 6 · 165 + 1 = 991 — пара (989, 991).

В последней паре 989 делится на 23, поэтому она не является парой простых чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел n может принимать значения от 2 до 16. Проверяем пары 6k − 1 и 6k + 1; пары, в которых хотя бы одно число составное: (35, 37), (49, 51), (55, 57), (55, 57), (65, 67), (85, 87), (91, 93), (95, 97). Повтор в списке следует устранить: каждой паре соответствует ровно одно k. Следовательно, пары: (35, 37), (49, 51), (55, 57), (65, 67), (85, 87), (91, 93), (95, 97).