10.41. Турист, выйдя из палатки, пошел по равнине, поднялся на гору и сразу возвратился по тому же пути. Он прошел 12 км, а все путешествие заняло 3 ч 30 мин. Какова длина спуска, если по равнине турист шел со скоростью 4 км/ч, вверх — со скоростью 2 км/ч, а вниз — со скоростью 6 км/ч?

Пусть $$x$$ – длина пути по равнине, $$y$$ – длина подъема в гору. Тогда длина спуска с горы тоже $$y$$. Общий путь составляет 12 км, поэтому:

$$x + y + y = 12$$

$$x + 2y = 12$$.

Общее время в пути составляет 3 часа 30 минут, или 3,5 часа. Время, затраченное на каждый участок пути, можно выразить как расстояние, деленное на скорость:

$$\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{y}{6} = 3.5$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + 2y = 12 \\ \frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{y}{6} = 3.5 \end{cases}$$

Выразим $$x$$ из первого уравнения: $$x = 12 - 2y$$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$$\frac{12 - 2y}{4} + \frac{y}{2} + \frac{y}{6} = 3.5$$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:

$$3(12 - 2y) + 6y + 2y = 42$$

$$36 - 6y + 6y + 2y = 42$$

$$2y = 6$$

$$y = 3$$

Таким образом, длина спуска (и подъема) составляет 3 км.

Ответ: 3 км