Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которого изменяется со временем, как показано на графике: Через 11 с тело окажется повернутым относительно начального положения на угол ___ рад. Выберите один ответ: a. 0 b. 12 c. 24 d. 4

Решение:

Угловое перемещение (угол поворота) тела равно площади под графиком зависимости угловой скорости от времени. Интегрируем функцию \( \omega_z(t) \) от \( t = 0 \) до \( t = 11 \) с.

График можно разделить на несколько участков:

1. От \( t = 0 \) до \( t = 2 \) с: тело движется с постоянной угловой скоростью \( \omega_z = 4 \) рад/с. Перемещение: \( \Delta \phi_1 = \omega_z \cdot \Delta t = 4 \cdot 2 = 8 \) рад.
2. От \( t = 2 \) до \( t = 4 \) с: угловая скорость линейно убывает от 4 до -2 рад/с. Это трапеция. Площадь: \( \Delta \phi_2 = \frac{\omega_{z1} + \omega_{z2}}{2} \cdot \Delta t = \frac{4 + (-2)}{2} \cdot (4-2) = \frac{2}{2} \cdot 2 = 2 \) рад.
3. От \( t = 4 \) до \( t = 10 \) с: тело движется с постоянной угловой скоростью \( \omega_z = -2 \) рад/с. Перемещение: \( \Delta \phi_3 = \omega_z \cdot \Delta t = -2 \cdot (10-4) = -2 \cdot 6 = -12 \) рад.
4. От \( t = 10 \) до \( t = 11 \) с: тело движется с постоянной угловой скоростью \( \omega_z = -2 \) рад/с. Перемещение: \( \Delta \phi_4 = \omega_z \cdot \Delta t = -2 \cdot (11-10) = -2 \cdot 1 = -2 \) рад.

Полное угловое перемещение через 11 секунд:

\( \Delta \phi = \Delta \phi_1 + \Delta \phi_2 + \Delta \phi_3 + \Delta \phi_4 = 8 + 2 + (-12) + (-2) = 10 - 14 = -4 \) рад.

Модуль угла поворота равен 4 рад.

Ответ: d. 4