u) $$\int \frac{25^x dx}{cos5^{2x}}$$

u) Решение:

Для решения данного интеграла необходимо выполнить следующие шаги:

1. Преобразуем выражение в знаменателе, используя тригонометрическое тождество: $$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$. Следовательно, $$cos(5^{2x}) = \frac{e^{i5^{2x}}+e^{-i5^{2x}}}{2}$$.
2. Подставим полученное выражение в интеграл: $$\int \frac{25^x}{\frac{e^{i5^{2x}}+e^{-i5^{2x}}}{2}} dx = 2\int \frac{25^x}{e^{i5^{2x}}+e^{-i5^{2x}}} dx$$.
3. Заметим, что $$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}$$, тогда $$2\int \frac{5^{2x}}{e^{i5^{2x}}+e^{-i5^{2x}}} dx$$

Обозначим $$u=5^{2x}$$, тогда $$du = 5^{2x}ln(5^2)2dx = 2ln(25)5^{2x}dx$$

Выразим $$dx=\frac{du}{2ln(25)5^{2x}}$$, следовательно:

$$2\int \frac{5^{2x}}{e^{iu}+e^{-iu}} \frac{du}{2ln(25)5^{2x}} = \frac{1}{ln(25)}\int \frac{du}{e^{iu}+e^{-iu}}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$e^{iu}$$:

$$\frac{1}{ln(25)}\int \frac{e^{iu}du}{e^{i2u}+1}$$

Cделаем замену $$t=e^{iu}$$, тогда $$dt=ie^{iu}du$$, следовательно $$du=\frac{dt}{it}$$

$$\frac{1}{ln(25)}\int \frac{t\frac{dt}{it}}{t^2+1} = \frac{1}{iln(25)}\int \frac{dt}{t^2+1} = -\frac{i}{ln(25)}arctg(t) + C = -\frac{i}{ln(25)}arctg(e^{iu}) + C = -\frac{i}{ln(25)}arctg(e^{i5^{2x}}) + C$$

Ответ:

$$\int \frac{25^x dx}{cos5^{2x}} = -\frac{i}{ln(25)}arctg(e^{i5^{2x}}) + C$$

Ответ: $$\int \frac{25^x dx}{cos5^{2x}} = -\frac{i}{ln(25)}arctg(e^{i5^{2x}}) + C$$