У гнома Алвина есть волшебный сундук. Если положить в него \(N\) монет и закрыть на минуту, то количество монет увеличится на сумму цифр числа \(N\). Какое максимальное число монет Алвин сможет получить за 20 минут, если изначально у него есть 1 монета? (Указанное время отражает действие сундука. Временем, уходящим на перекладывание монет, можно пренебречь.)

Решение: 1. Изначально у Алвина 1 монета. 2. После первой минуты: \(1 + 1 = 2\) монеты. 3. После второй минуты: \(2 + 2 = 4\) монеты. 4. После третьей минуты: \(4 + 4 = 8\) монеты. 5. После четвертой минуты: \(8 + 8 = 16\) монет. 6. После пятой минуты: \(16 + (1 + 6) = 16 + 7 = 23\) монеты. 7. После шестой минуты: \(23 + (2 + 3) = 23 + 5 = 28\) монет. 8. После седьмой минуты: \(28 + (2 + 8) = 28 + 10 = 38\) монет. 9. После восьмой минуты: \(38 + (3 + 8) = 38 + 11 = 49\) монет. 10. После девятой минуты: \(49 + (4 + 9) = 49 + 13 = 62\) монеты. 11. После десятой минуты: \(62 + (6 + 2) = 62 + 8 = 70\) монет. 12. После одиннадцатой минуты: \(70 + (7 + 0) = 70 + 7 = 77\) монет. 13. После двенадцатой минуты: \(77 + (7 + 7) = 77 + 14 = 91\) монета. 14. После тринадцатой минуты: \(91 + (9 + 1) = 91 + 10 = 101\) монета. 15. После четырнадцатой минуты: \(101 + (1 + 0 + 1) = 101 + 2 = 103\) монеты. 16. После пятнадцатой минуты: \(103 + (1 + 0 + 3) = 103 + 4 = 107\) монет. 17. После шестнадцатой минуты: \(107 + (1 + 0 + 7) = 107 + 8 = 115\) монет. 18. После семнадцатой минуты: \(115 + (1 + 1 + 5) = 115 + 7 = 122\) монеты. 19. После восемнадцатой минуты: \(122 + (1 + 2 + 2) = 122 + 5 = 127\) монет. 20. После девятнадцатой минуты: \(127 + (1 + 2 + 7) = 127 + 10 = 137\) монет. 21. После двадцатой минуты: \(137 + (1 + 3 + 7) = 137 + 11 = 148\) монет. Ответ: **148** монет. Развернутый ответ: Задача состоит в том, чтобы найти, как меняется количество монет у гнома Алвина с каждой минутой. Каждый раз, когда проходит минута, количество монет увеличивается на сумму цифр текущего количества монет. Чтобы решить эту задачу, нужно последовательно вычислить количество монет после каждой минуты, начиная с 1 монеты, и так 20 раз. После каждого шага считаем сумму цифр текущего количества монет и прибавляем её к текущему количеству монет. В конце мы получим искомое количество монет после 20 минут.