У исполнителя Гамма две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 5; 2. раздели на b (b – неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Гамма увеличивает число на экране на 5, а выполняя вторую, делит это число на b. Программа для исполнителя Гамма — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 40 в число 20. Определите значение b.

Решение:

Обозначим исходное число как $$x$$. Программа состоит из последовательности команд: 1, 1, 2, 1, 1. Значение \( b \) — неизвестное натуральное число, \( b \ge 2 \).

Исходное число: \( x = 40 \).

Выполняем команды последовательно:

1. Команда 1: прибавить 5. \( 40 + 5 = 45 \).
2. Команда 1: прибавить 5. \( 45 + 5 = 50 \).
3. Команда 2: разделить на \( b \). \( 50 / b \).
4. Команда 1: прибавить 5. \( \frac{50}{b} + 5 \).
5. Команда 1: прибавить 5. \( \frac{50}{b} + 5 + 5 = \frac{50}{b} + 10 \).

Известно, что после выполнения программы число стало равно 20. Составим уравнение:

\[ \frac{50}{b} + 10 = 20 \]\[ \frac{50}{b} = 20 - 10 \]\[ \frac{50}{b} = 10 \]\[ b = \frac{50}{10} \]\[ b = 5 \]

Проверим условие \( b \ge 2 \). Так как \( 5 \ge 2 \), значение \( b=5 \) подходит.

Ответ: 5