У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. Возведи в квадрат; 2. Прибавь в. (b - неизвестное натуральное число). Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу в. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 21222 переводит число 3 в число 45. Определите значение в.

Для решения задачи необходимо понять, как работает программа и как команды изменяют число.

Программа 21222 применяется к числу 3. Рассмотрим последовательность действий:

1. Команда 2: Прибавить b. Число становится 3 + b.
2. Команда 1: Возвести в квадрат. Число становится (3 + b)².
3. Команда 2: Прибавить b. Число становится (3 + b)² + b.
4. Команда 2: Прибавить b. Число становится (3 + b)² + 2b.
5. Команда 2: Прибавить b. Число становится (3 + b)² + 3b.

Известно, что результатом выполнения программы является число 45, следовательно, получаем уравнение:

$$ (3 + b)^2 + 3b = 45 $$

Раскроем скобки:

$$ 9 + 6b + b^2 + 3b = 45 $$

$$ b^2 + 9b + 9 = 45 $$

$$ b^2 + 9b - 36 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = 9, c = -36.

$$ D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225 $$

$$ \sqrt{D} = 15 $$

Корни квадратного уравнения:

$$ b_1 = \frac{-9 + 15}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

$$ b_2 = \frac{-9 - 15}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

По условию, b — натуральное число, следовательно, b = 3.

Проверим:

$$ (3 + 3)^2 + 3 \cdot 3 = 6^2 + 9 = 36 + 9 = 45 $$

Все верно.

Ответ: 3