У исполнителя существует три команды: вперед(п) (где п – целое число), вызывающая передвижение Черепашки на п шагов в направлении движения; вправо(m) (где m – целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке; опустить хвост – при перемещении Черепаха будет чертить линию. Запись повтори k [команда1 команда2 команда3] означает, что последовательность команд в скобках повторится k раз. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм, который строит многоугольник: повтори 15 [вперед(5) вправо(330)]. Наберите и выполните этот алгоритм в среде исполнителя «Черепаха» программы Кумир и определите количество вершин у многоугольника.

Решение:

Алгоритм выполняет команду повтори 15. Внутри цикла происходит:

• вперед(5): Черепаха движется на 5 шагов.
• вправо(330): Черепаха поворачивает на 330 градусов по часовой стрелке.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 градусам. В данном алгоритме черепаха делает 15 поворотов.

Угол поворота равен 330 градусам. Это означает, что сумма углов поворота, которые черепаха делает, составит:

• 15 поворотов * 330 градусов/поворот = 4950 градусов.

Поскольку 360 градусов соответствует полному обороту (возвращению в исходное положение), то чтобы найти количество полных оборотов, нужно разделить общую сумму градусов на 360:

• 4950 градусов / 360 градусов/оборот = 13.75 оборотов.

Количество вершин многоугольника равно количеству полных оборотов, которые делает черепаха, прежде чем вернуться в исходную точку, при условии, что она проходит каждую сторону ровно один раз. В данном случае, каждый поворот на 330 градусов является внешним углом многоугольника.

Для определения количества вершин, можно посчитать, сколько раз черепаха должна повернуть, чтобы сумма углов поворота составила 360 градусов. Если бы угол поворота был, например, 90 градусов, то 360/90 = 4 вершины. В данном случае, угол поворота 330 градусов. Но так как команда повтори 15, это означает, что цикл выполняется 15 раз. Каждый цикл создает одну сторону и один внешний угол многоугольника. Следовательно, количество вершин будет равно количеству повторений, если эти повторения образуют замкнутую фигуру.

Угол поворота 330 градусов по часовой стрелке эквивалентен повороту на 360 - 330 = 30 градусов против часовой стрелки. Если мы будем двигаться по сторонам многоугольника, то каждый раз будем поворачивать на 30 градусов против часовой стрелки. Так как команда 'вправо(330)' выполняется 15 раз, итоговый поворот будет 15 * 330 = 4950 градусов. Чтобы фигура замкнулась, сумма внешних углов должна быть кратна 360. 4950 / 360 = 13.75. Это не прямо указывает на количество вершин. Однако, количество вершин многоугольника равно количеству команд 'вперед', которые черепаха выполняет до возвращения в исходную точку. Если алгоритм строится с помощью команды 'повтори', то количество вершин часто равно числу повторений, если фигура замкнута.

Рассмотрим поворот: 330 градусов по часовой стрелке. Это как шагнуть вперед и повернуться. Чтобы вернуться в исходную точку и ориентацию, сумма внешних углов должна быть 360 градусов. Каждый внешний угол равен 360 - внутренний угол. Здесь, поворот 330 градусов является внешним углом. Если мы делаем 15 таких поворотов, и они образуют многоугольник, то количество вершин будет равно числу уникальных направлений, которые принимает черепаха, возвращаясь к исходному направлению. Каждый поворот на 330 градусов означает, что черепаха оказывается повернутой на 330 градусов от предыдущего направления. Поскольку 330 градусов не делит 360 без остатка, черепаха не будет возвращаться к исходному направлению за один шаг. Однако, если команда 'повтори 15' означает, что строится фигура с 15 сторонами, то и вершин будет 15.

Поскольку алгоритм повтори 15 [вперед(5) вправо(330)], это означает, что команда вперед(5) и вправо(330) повторяется 15 раз. Это формирует 15 сторон и, соответственно, 15 вершин, если фигура является простым многоугольником.