У кассира есть банкноты номиналом исключительно 100 и 500 рублей на общую сумму 3400 рублей. Запишите данное условие в виде уравнения с двумя переменными (x — количество купюр номиналом 100 рублей, а y — количество купюр номиналом 500 рублей). Найдите решение этого уравнения в натуральных числах, соответствующее наименьшему возможному значению х.

Решение:

Обозначим количество купюр номиналом 100 рублей как \( x \), а количество купюр номиналом 500 рублей как \( y \). Общая сумма составляет 3400 рублей. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

\( 100x + 500y = 3400 \)

Чтобы упростить уравнение, разделим обе части на 100:

\( x + 5y = 34 \)

Нам нужно найти решение этого уравнения в натуральных числах (то есть \( x \) и \( y \) должны быть положительными целыми числами), при этом \( x \) должно быть наименьшим возможным.

Перепишем уравнение, чтобы выразить \( x \):

\( x = 34 - 5y \)

Поскольку \( x \) должно быть натуральным числом, \( x > 0 \). Следовательно:

\( 34 - 5y > 0 \)

\( 34 > 5y \)

\( y < \frac{34}{5} \)

\( y < 6.8 \)

Также \( y \) должно быть натуральным числом, то есть \( y \ge 1 \).

Возможные значения \( y \) — это натуральные числа от 1 до 6.

Теперь подставим эти значения \( y \) в уравнение \( x = 34 - 5y \) и найдем соответствующие значения \( x \), чтобы определить наименьшее \( x \).

• Если \( y = 1 \), то \( x = 34 - 5 · 1 = 34 - 5 = 29 \).
• Если \( y = 2 \), то \( x = 34 - 5 · 2 = 34 - 10 = 24 \).
• Если \( y = 3 \), то \( x = 34 - 5 · 3 = 34 - 15 = 19 \).
• Если \( y = 4 \), то \( x = 34 - 5 · 4 = 34 - 20 = 14 \).
• Если \( y = 5 \), то \( x = 34 - 5 · 5 = 34 - 25 = 9 \).
• Если \( y = 6 \), то \( x = 34 - 5 · 6 = 34 - 30 = 4 \).

Наименьшее натуральное значение \( x \) равно 4, которое соответствует \( y = 6 \).

Ответ: x = 4, y = 6.