У Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см, если после первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 680 см, а после каждого следующего отскока от асфальта попрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию. Высота, на которую подлетает попрыгунчик после каждого отскока, образует последовательность:

Первый отскок: \( h_1 = 680 \) см.

Каждый последующий отскок уменьшает высоту в 2 раза. Это означает, что знаменатель прогрессии \( q = 0.5 \).

Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \), где \( h_n \) — высота после n-го отскока.

Нам нужно найти такой номер отскока \( n \), при котором высота \( h_n \) станет меньше 20 см.

\( h_n < 20 \)

\( 680 \cdot (0.5)^{n-1} < 20 \)

Разделим обе части на 680:

\( (0.5)^{n-1} < \frac{20}{680} \)

\( (0.5)^{n-1} < \frac{1}{34} \)

Теперь будем подбирать значение \( n \), подставляя его в формулу:

• При \( n = 1 \): \( h_1 = 680 \cdot (0.5)^{1-1} = 680 \cdot 1 = 680 \) см.
• При \( n = 2 \): \( h_2 = 680 \cdot (0.5)^{2-1} = 680 \cdot 0.5 = 340 \) см.
• При \( n = 3 \): \( h_3 = 680 \cdot (0.5)^{3-1} = 680 \cdot 0.25 = 170 \) см.
• При \( n = 4 \): \( h_4 = 680 \cdot (0.5)^{4-1} = 680 \cdot 0.125 = 85 \) см.
• При \( n = 5 \): \( h_5 = 680 \cdot (0.5)^{5-1} = 680 \cdot 0.0625 = 42.5 \) см.
• При \( n = 6 \): \( h_6 = 680 \cdot (0.5)^{6-1} = 680 \cdot 0.03125 = 21.25 \) см.
• При \( n = 7 \): \( h_7 = 680 \cdot (0.5)^{7-1} = 680 \cdot 0.015625 = 10.625 \) см.

Видим, что после 7-го отскока высота стала меньше 20 см.

Ответ: 7