У Кати в кармане две монеты по 10 рублей, две монеты по 5 рублей и две монеты по 2 рубля. Она хочет купить в киоске мороженое ценой 20 рублей. Катя не глядя достаёт из кармана три случайные монеты. Найдите вероятность того, что суммы, которую достала Катя, хватит на мороженое

Решение:

Для начала определим, какие монеты есть у Кати и сколько их всего:

• 2 монеты по 10 рублей
• 2 монеты по 5 рублей
• 2 монеты по 2 рубля

Всего у Кати 2 + 2 + 2 = 6 монет.

Катя достает 3 монеты случайным образом. Найдем общее количество способов, которыми она может это сделать. Это число сочетаний из 6 по 3:

$$ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 × 5 × 4}{3 × 2 × 1} = 20 $$

Теперь определим, какие комбинации трех монет могут дать сумму, достаточную для покупки мороженого (20 рублей или больше).

Возможные комбинации монет и их суммы:

• 10 + 10 + 5 = 25 рублей (хватит)
• 10 + 10 + 2 = 22 рубля (хватит)
• 10 + 5 + 5 = 20 рублей (хватит)
• 10 + 5 + 2 = 17 рублей (не хватит)
• 5 + 5 + 2 = 12 рублей (не хватит)
• 5 + 2 + 2 = 9 рублей (не хватит)
• 2 + 2 + 2 = 6 рублей (не хватит)

Перечислим все возможные наборы из трех монет и проверим, достаточно ли суммы:

1. 10, 10, 5 (сумма 25) - хватает
2. 10, 10, 2 (сумма 22) - хватает
3. 10, 5, 5 (сумма 20) - хватает
4. 10, 5, 2 (сумма 17) - не хватает
5. 5, 5, 2 (сумма 12) - не хватает
6. 5, 2, 2 (сумма 9) - не хватает
7. 2, 2, 2 (сумма 6) - не хватает

Важно учесть, что монеты одного номинала различимы при подсчете сочетаний. Например, если у нас есть две монеты по 10 рублей (обозначим их 10a и 10b), то комбинация (10a, 10b, 5) отличается от (10a, 5, 5).

Давайте перечислим все возможные комбинации из 3 монет и их суммы:

• 10, 10, 5 = 25 (хватит)
• 10, 10, 2 = 22 (хватит)
• 10, 5, 5 = 20 (хватит)
• 10, 5, 2 = 17 (не хватит)
• 5, 5, 2 = 12 (не хватит)
• 5, 2, 2 = 9 (не хватит)
• 2, 2, 2 = 6 (не хватит)

Теперь посчитаем, сколько из 20 возможных комбинаций дают сумму 20 рублей или больше:

• Комбинации с двумя 10-рублевыми монетами:
• 10, 10, 5 - 1 комбинация (хватит)
• 10, 10, 2 - 1 комбинация (хватит)
• Комбинации с одной 10-рублевой монетой:
• 10, 5, 5 - 1 комбинация (хватит)
• 10, 5, 2 - 2 комбинации (не хватит)
• Комбинации с нулем 10-рублевых монет:
• 5, 5, 2 - 1 комбинация (не хватит)
• 5, 2, 2 - 2 комбинации (не хватит)
• 2, 2, 2 - 1 комбинация (не хватит)

Давайте перечислим все 20 комбинаций более систематично:

1. (10, 10, 5) = 25 (хватит)
2. (10, 10, 2) = 22 (хватит)
3. (10, 5, 5) = 20 (хватит)
4. (10, 5, 2) = 17 (не хватит) - таких комбинаций 2 (10, 5, 2a и 10, 5, 2b)
5. (5, 5, 2) = 12 (не хватит) - такая комбинация 1 (5a, 5b, 2)
6. (5, 2, 2) = 9 (не хватит) - таких комбинаций 2 (5, 2a, 2b)
7. (2, 2, 2) = 6 (не хватит) - такая комбинация 1 (2a, 2b, 2c)

Теперь посчитаем количество благоприятных исходов (сумма >= 20 рублей):

• Комбинации с двумя 10-рублевыми монетами:
• 10, 10, 5 = 25 (1 способ)
• 10, 10, 2 = 22 (1 способ)
• Комбинации с одной 10-рублевой монетой:
• 10, 5, 5 = 20 (1 способ)

Общее количество благоприятных исходов = 1 + 1 + 1 = 3.

Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)

$$ P = \frac{3}{20} $$