9. У Ксюши есть фиолетовые, синие и красные бусины. Она нанизывает бусины на нитку в таком порядке: одну фиолетовую, две красные, три синие, снова фиолетовые, но уже четыре, потом пять красных и так далее. Последней будет нанизана синяя бусина. 1) Какого цвета тридцатая по счёту бусина? 2) Сколько на нитке всего фиолетовых бусин, если красных бусин всего 40?

1) Определим порядок повторения цветов: фиолетовый, красный, синий. Бусины повторяются группами, где количество каждого цвета увеличивается. Для определения цвета 30-й бусины, нужно понять, в какой группе она находится. Суммируем количество бусин в группах: 1+2+3 = 6, 4+5+6 = 15, 7+8+9 = 24, 10+11+12 = 33. Значит 30-я бусина находится в группе 7+8+9. Номер позиции бусины в группе равен 30-24 = 6. Так как в этой группе порядок цветов: фиолетовый, красный, синий, то 6-ая бусина - это вторая красная бусина. Значит 30-ая бусина красного цвета. 2) Если всего 40 красных бусин, нужно определить, сколько фиолетовых. Красные бусины встречаются в группах с порядковыми номерами 2, 5, 8, 11 и т.д. Найдем номер последней группы с красными бусинами. Сумма красных бусин в группах будет 2 + 5 + 8 + ... + x = 40. В каждой группе разное количество красных бусин. Заметим, что количество красных бусин образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. Чтобы узнать, сколько всего фиолетовых бусин, нужно знать, сколько групп бусин. Так как всего 40 красных бусин, нужно определить, в каких группах они расположены. Красные бусины встречаются в группах 2, 5, 8, 11, 14. 2+5+8+11+14 = 40. Значит 5 групп, значит фиолетовых бусин 1+4+7+10+13 = 35.