У Лены есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она изо всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 7 см?

Решение:

Задача описывает геометрическую прогрессию, где каждый последующий член (высота отскока) равен предыдущему, умноженному на коэффициент \( q = 0.5 \). Начальная высота \( a_1 = 320 \) см. Нам нужно найти номер отскока \( n \), при котором высота \( a_n \) станет меньше 7 см.

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \). В нашем случае \( a_n = 320 \cdot (0.5)^{n-1} \).

Нам нужно решить неравенство: \( 320 \cdot (0.5)^{n-1} < 7 \).

Разделим обе части на 320:

\( (0.5)^{n-1} < \frac{7}{320} \)

\( \frac{1}{2^{n-1}} < \frac{7}{320} \)

Перевернем дроби, сменив знак неравенства:

\( 2^{n-1} > \frac{320}{7} \)

\( 2^{n-1} > 45.71... \)

Теперь подберем степень двойки, которая больше 45.71:

• \( 2^1 = 2 \)
• \( 2^2 = 4 \)
• \( 2^3 = 8 \)
• \( 2^4 = 16 \)
• \( 2^5 = 32 \)
• \( 2^6 = 64 \)

Наименьшая степень двойки, которая больше 45.71, это \( 2^6 = 64 \).

Значит, \( n-1 = 6 \).

Отсюда \( n = 6 + 1 = 7 \).

Проверим высоты отскоков:

• 1-й отскок: 320 см
• 2-й отскок: \( 320 \cdot 0.5 = 160 \) см
• 3-й отскок: \( 160 \cdot 0.5 = 80 \) см
• 4-й отскок: \( 80 \cdot 0.5 = 40 \) см
• 5-й отскок: \( 40 \cdot 0.5 = 20 \) см
• 6-й отскок: \( 20 \cdot 0.5 = 10 \) см
• 7-й отскок: \( 10 \cdot 0.5 = 5 \) см

Высота 5 см меньше 7 см.

Ответ: 7