У Пети есть три карточки с цифрой 4 и пять карточек с цифрой 5. Сколько различных восьмизначных чисел может выложить Петя из данных карточек?

Решение:

1. У Пети в сумме 3 карточки с цифрой 4 и 5 карточек с цифрой 5, всего 8 карточек.

2. Для образования уникальных восьмизначных чисел, необходимо учитывать все перестановки карточек. Так как карточки одного типа неразличимы, используем формулу перестановок с повторениями:
$$P = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2!},$$
где $$n$$ — общее количество карточек, $$n_1$$ — количество карточек первого типа, $$n_2$$ — количество карточек второго типа.

В данном случае, $$n = 8$$, $$n_1 = 3$$ (для цифры 4), $$n_2 = 5$$ (для цифры 5). Подставляем:
$$P = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{40320}{6 \cdot 120} = 56.$$

Ответ: Петя может выложить 56 различных восьмизначных чисел.