1. У прямоугольного треугольника катеты равны 5 см и 12 см. Найдите его гипотенузу. 2. В прямоугольнике одна сторона равна 4 м, а диагональ равна 5 м. Найдите площадь прямоугольника. 3. Найдите диагональ ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ равна 16 см. 4. Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 27, боковая сторона 25 (см. рис. 103). Найдите высоту һ и площадь S трапеции.

Решение:

1. Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим гипотенузу за c, а катеты за a и b. Тогда:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

\[c^2 = 5^2 + 12^2\]

\[c^2 = 25 + 144\]

\[c^2 = 169\]

\[c = \sqrt{169}\]

\[c = 13\]

Гипотенуза равна 13 см.

2. Найдём площадь прямоугольника.

Пусть одна сторона прямоугольника равна a = 4 м, а диагональ равна d = 5 м. Обозначим вторую сторону прямоугольника за b. По теореме Пифагора:

\[a^2 + b^2 = d^2\]

\[4^2 + b^2 = 5^2\]

\[16 + b^2 = 25\]

\[b^2 = 25 - 16\]

\[b^2 = 9\]

\[b = \sqrt{9}\]

\[b = 3\]

Вторая сторона прямоугольника равна 3 м.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[S = a * b\]

\[S = 4 * 3\]

\[S = 12\]

Площадь прямоугольника равна 12 м².

3. Найдём диагональ ромба.

В условии указаны две диагонали, следовательно, задача некорректна или неполная.

4. Найдём высоту и площадь трапеции.

Дана равнобедренная трапеция с основаниями a = 27 см и b = 13 см, и боковой стороной c = 25 см.

Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Тогда большее основание разделится на три отрезка: x, b, x, где b - длина меньшего основания.

\[a = b + 2x\]

\[27 = 13 + 2x\]

\[2x = 27 - 13\]

\[2x = 14\]

\[x = 7\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и отрезком x. По теореме Пифагора:

\[h^2 + x^2 = c^2\]

\[h^2 + 7^2 = 25^2\]

\[h^2 + 49 = 625\]

\[h^2 = 625 - 49\]

\[h^2 = 576\]

\[h = \sqrt{576}\]

\[h = 24\]

Высота трапеции равна 24 см.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[S = \frac{a + b}{2} * h\]

\[S = \frac{27 + 13}{2} * 24\]

\[S = \frac{40}{2} * 24\]

\[S = 20 * 24\]

\[S = 480\]

Площадь трапеции равна 480 см².

Ответ: 1. 13 см; 2. 12 м²; 3. Задача некорректна; 4. h = 24 см, S = 480 см²