6. У прямых есть ровно шесть точек пересечения. Проведите: а) пять таких прямых; б) шесть прямых. Обязательно ли среди них будут параллельные?

Рассмотрим задачу о прямых с шестью точками пересечения.

1. Пять прямых, имеющих ровно шесть точек пересечения:

      |
      |  /   /   /
------|--/---/---/------
      | /   /   /
      |/
     /
    /
   /

Здесь пять прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, и нет параллельных прямых. Число точек пересечения равно $$C^2_5 = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$. Необходимо уменьшить количество точек пересечения до 6. Для этого нужно, чтобы несколько прямых проходили через одну точку. Чтобы осталось ровно 6 точек, нужно 4 точки пересечения убрать. Это возможно, если 3 прямые пересекаются в одной точке. Тогда количество точек пересечения будет равно $$C^2_5 - C^2_3 + 1 = 10 - 3 + 1 = 8$$. Это не подходит.

Еще один вариант – есть три параллельные прямые, а две другие их пересекают. В этом случае будет 6 точек пересечения.

    l l l
   / / /
  / / /

Тогда $$C^2_2 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$$. Это тоже не 6 точек пересечения.

Значит, ответ на пункт а): можно провести 5 прямых, имеющих ровно 6 точек пересечения, при этом не все прямые параллельны.

2. Шесть прямых, имеющих ровно шесть точек пересечения:

Возможно, если все 6 прямых параллельны, тогда точек пересечения не будет совсем. Если же хотя бы две из них пересекаются, то точек пересечения будет больше шести.

Шесть прямых могут иметь ровно шесть точек пересечения, если они расположены так, что пять из них параллельны друг другу, а шестая пересекает их все. Тогда будет ровно пять точек пересечения. Если шестая прямая параллельна остальным, то точек пересечения не будет.

Другой вариант: три прямые параллельны между собой, а три другие пересекают их в разных точках. В этом случае будет 9 точек пересечения.

Ответ на пункт б): невозможно провести шесть прямых, имеющих ровно шесть точек пересечения.

Ответ: а) Да, не обязательно; б) Нет, невозможно.