У волшебницы Стеллы есть 27 магических камней: первый весит 1 грамм, второй — 2 грамма, ..., 27-ой – 27 грамм. Чтобы вернуть Элли домой, Стелле потребовалось разложить камни в несколько кучек так, чтобы в каждой из кучек самый тяжёлый камень весил столько же, сколько все остальные вместе взятые. Недолго подумав, Стелла справилась с заданием. Сколько кучек у неё могло получиться?

Для решения этой задачи необходимо понять, какие камни могут быть в каждой кучке, чтобы выполнялось условие: самый тяжелый камень весит столько же, сколько и все остальные камни в этой кучке вместе взятые.

Общий вес всех камней:

$$ 1 + 2 + 3 + ... + 27 = \frac{27 \times (27 + 1)}{2} = \frac{27 \times 28}{2} = 27 \times 14 = 378 \text{ грамм} $$

Далее рассмотрим возможные варианты разбиения камней на кучки.

1. Одна кучка:

   Если кучка одна, то самый тяжелый камень (27 грамм) должен весить столько же, сколько и все остальные камни вместе взятые. Это возможно, если сумма весов камней от 1 до 26 равна 27.

   Сумма весов камней от 1 до 26:

   $$ \frac{26 \times (26 + 1)}{2} = \frac{26 \times 27}{2} = 13 \times 27 = 351 \text{ грамм} $$

   Так как 351 ≠ 27, то один камень не может весить столько же, сколько все остальные.

2. Две кучки:

   Чтобы найти максимальное количество кучек, нужно разложить камни так, чтобы условие задачи выполнялось в каждой кучке. Если в кучке есть камень весом $$x$$, то сумма всех остальных камней в этой кучке должна быть равна $$x$$. Это значит, что общий вес каждой кучки должен быть $$2x$$.

   Сумма весов всех кучек должна быть равна сумме весов всех камней, то есть 378 грамм. Значит, сумма всех $$2x$$ должна равняться 378. Это возможно только если общий вес кучек будет четным числом. Так как 378 четное, то количество кучек может быть любым.

   Рассмотрим возможные комбинации кучек:

   • Кучка 1: камень весом 1 грамм, других камней нет. Невозможно, так как сумма весов остальных камней должна быть равна 1.
   • Кучка 2: камень весом 2 грамма, другие камни не нужны. Возможно, если в кучке только камень весом 1+1=2. Значит, в кучке должен быть камень весом 2, а остальные весят 1.
   • 2 = 1 + 1 – невозможно
   • 3 = 1 + 2 – возможно
   • 4 = 1 + 3 или 2 + 2 – невозможно, так как 2 камня с весом 2 не может быть, так как каждый камень уникален.
   • 5 = 1 + 4 или 2 + 3 – возможно
   • 6 = 1 + 5 или 2 + 4 или 3 + 3 - невозможно
   • 7 = 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4 – возможно

   Примеры кучек:

   • {3, 1, 2}
   • {5, 2, 3} или {5, 1, 4}
   • {7, 1, 6}, {7, 2, 5}, {7, 3, 4}

   Из этого следует, что число кучек может быть больше одной.

3. Кучка 1: {3, 1, 2}

   Кучка 2: {5, 2, 3}

   Кучка 3: {7, 3, 4}

   Кучка 4: {9, 4, 5}

   Кучка 5: {11, 5, 6}

   Кучка 6: {13, 6, 7}

   Кучка 7: {15, 7, 8}

   Кучка 8: {17, 8, 9}

   Кучка 9: {19, 9, 10}

   Кучка 10: {21, 10, 11}

   Кучка 11: {23, 11, 12}

   Кучка 12: {25, 12, 13}

   В этих кучках вес самого тяжелого камня равен сумме весов двух других. Так можно составить 12 кучек. Остаются камни 1, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 и 27. Всего 15 камней.

   Мы можем сформировать три кучки из 27 = 1 + 26, где 26 = 1 + 25, где 25 = 1 + 24 и т.д.

   Рассмотрим кучки из двух камней. В таком случае это невозможно, так как $$x = a + b$$, где x вес одного камня, a и b - вес другого. Тогда $$x = a + b$$, где a и b – оставшиеся веса.

4. Максимальное число кучек можно получить, если каждый самый тяжелый камень будет как можно меньше. Например, {3, 1, 2}, {4, 1, 3}, {5, 1, 4} и так далее.

   Можно получить 6 кучек:

   {3, 1, 2}, {4, 1, 3}, {5, 1, 4}, {6, 1, 5}, {7, 1, 6}, {8, 1, 7}

Рассмотрим другой подход:

Пусть $$x$$ - вес самого тяжелого камня в кучке, а $$a, b, c, ...$$ - веса остальных камней. Тогда $$x = a + b + c + ...$$.

Общий вес всех камней: $$1 + 2 + ... + 27 = 378$$.

Пусть $$n$$ - количество кучек. Тогда $$378 = 2x_1 + 2x_2 + ... + 2x_n = 2(x_1 + x_2 + ... + x_n)$$.

Отсюда, $$\frac{378}{2} = 189 = x_1 + x_2 + ... + x_n$$.

Наименьшее значение $$x_i$$ = 3 (кучка {3, 1, 2}). Тогда максимальное количество кучек = $$189/3 = 63$$. Но тогда нужно найти подходящий вес и т.д.

Допустим кучка {3, 1, 2}, следующая кучка {4, 1, 3}, ... тогда количество кучек можно представить таким образом, чтобы было наибольшее число кучек. Кучка: {n, 1, n-1}, количество кучек n/2 (если n четное) и (n-1)/2 (если n нечетное). Например, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,4,5}… и так далее.

У Стеллы могло получиться несколько кучек.

Например, 6 кучек.

Ответ: 6