Участники игры в пейнтбол закончили соревнование и пожали друг другу руки. Сколько человек участвовало в игре, если каждый участник пожал руки всем остальным, а всего рукопожатий получилось 105?

Пошаговое решение:

Пусть \( n \) — количество участников. Каждый участник пожимает руку \( n - 1 \) другим участникам. Общее количество рукопожатий можно выразить как \( \frac{n(n-1)}{2} \), так как каждое рукопожатие учитывается дважды.

По условию, всего рукопожатий 105. Составим уравнение:

\[\frac{n(n-1)}{2} = 105\]

Решим уравнение:

\[n(n-1) = 210\]\[n^2 - n - 210 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[D = (-1)^2 - 4(1)(-210) = 1 + 840 = 841\]

Найдем корни уравнения:

\[n_1 = \frac{1 + \sqrt{841}}{2} = \frac{1 + 29}{2} = \frac{30}{2} = 15\]\[n_2 = \frac{1 - \sqrt{841}}{2} = \frac{1 - 29}{2} = \frac{-28}{2} = -14\]

Так как количество участников не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: 15 человек