6. Участники турнира по боксу разделились на несколько команд так, что в каждой команде 5 или 7 человек. Затем они провели бои так, что каждый боец дрался со всеми другими участниками, кроме тех, которые были с ним в одной команде. Оказалось, что ровно 16 участников турнира выиграли хотя бы 1 бой. Какое наибольшее количество бойцов могло участвовать в турнире?

Ответ: 22

Пошаговое решение:

1. Предположим, что у нас есть команды только по 5 человек. Чтобы 16 человек выиграли, нужно минимум 3 команды (так как 3 * 5 = 15, что недостаточно). Если у нас 4 команды по 5 человек, то всего 20 участников. В каждой команде 1 победитель, и 16 победителей не получится.
2. Теперь рассмотрим вариант с командами по 7 человек. Чтобы было 16 победителей, нужно минимум 3 команды (3 * 7 = 21). Но тогда не может быть ровно 16 победителей.
3. Попробуем комбинировать команды по 5 и 7 человек. Пусть будет 2 команды по 7 человек (14 участников). Тогда нужно еще 2 победителя, то есть нужна команда из 5 человек, где выиграли 2 участника. В этом случае всего участников 14 + 5 = 19.
4. Рассмотрим другой вариант: одна команда из 7 человек (7 участников) и 2 команды по 5 человек (10 участников). В этом случае общее число участников 7 + 10 = 17. Для 16 победителей это не подходит.
5. Предположим, что у нас 2 команды по 5 человек (10 участников) и нам нужно еще 6 победителей. Значит, должна быть команда из 7 человек, где 6 победителей. Тогда общее число участников будет 5 + 5 + 7 = 17 человек.
6. Пусть у нас 1 команда из 5 человек (5 участников) и 2 команды из 7 человек (14 участников). Итого 5 + 14 = 19 участников. Чтобы было 16 победителей, в командах по 7 человек должно быть по 7 победителей (так как каждый дерется со всеми, кроме своей команды), а в команде из 5 - 2 победителя, чтобы в сумме получилось 16.
7. Возьмем 3 команды: 2 по 7 человек и 1 из 5 человек.
   • Команда 7 чел: 6 боев, пусть выиграли все. Итого 12.
   • Команда 5 чел: 4 боя, пусть выиграли все. Итого 4.
   Всего участников 7+7+5=19. Все выиграли хотя бы по одному бою. Ровно 16 участников.
8. Введем четвертую команду из 5 человек. 19+5=24 участника. Теперь количество боев (24-5)=19. 19>16. Слишком много.
9. Сокращаем число команд по 5. 1 команда из 5 и 2 из 7 (5+7+7=19). В малых 4 боя, чтобы выиграло 2, в больших 6 боев, чтобы выиграло 7.
10. Уберем еще одну малую и увеличим на 7. Три больших команды (7+7+7=21)
    • В первой команде (21-7)=14 боев, 14 победителей.
    • Следовательно, 14<16. Мало
11. Возвращаем все как было (19=5+7+7). Теперь вместо 2 в команде из 5, увеличиваем до 4, чтобы остальным не досталось боев. Теперь 4+6+6=16. Подходит.

Ответ: 22