Ученик измерил объём шарообразного алюминиевого тела V = 101 см³ и его массу m = 267 г. Плотность алюминия считайте равной ρа = 2,700 г/см³. 1. Рассчитайте среднюю плотность тела ρ. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность Δρ средней плотности, если считать, что массу ученик измерил с абсолютной погрешностью 1 г, а объём – с абсолютной погрешностью 1 см³. Округлите Δρ до тысячных долей. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли утверждать, что в теле есть полость? Свой ответ обоснуйте.

Решение:

1. Расчёт средней плотности тела:

   Плотность тела рассчитывается по формуле: \[ \rho = \frac{m}{V} \]

   Где:

   • m — масса тела (267 г)
   • V — объём тела (101 см³)

   Подставляем значения: \[ \rho = \frac{267 \text{ г}}{101 \text{ см}^3} \approx 2,64356 \text{ г/см}^3 \]

   Округлим до сотых: \[ \rho \approx 2,64 \text{ г/см}^3 \]

2. Расчёт абсолютной погрешности средней плотности:

   Абсолютная погрешность плотности (Δρ) рассчитывается по формуле, учитывая погрешности измерения массы (Δm) и объёма (ΔV): \[ \Delta \rho = \sqrt{\left( \frac{\partial \rho}{\partial m} \Delta m \right)^2 + \left( \frac{\partial \rho}{\partial V} \Delta V \right)^2} \]

   Частные производные:

   • \[ \frac{\partial \rho}{\partial m} = \frac{1}{V} = \frac{1}{101 \text{ см}^3} \]
   • \[ \frac{\partial \rho}{\partial V} = -\frac{m}{V^2} = -\frac{267 \text{ г}}{(101 \text{ см}^3)^2} \]

   Погрешности:

   • Δm = 1 г
   • ΔV = 1 см³

   Подставляем значения: \[ \Delta \rho = \sqrt{\left( \frac{1}{101} \cdot 1 \right)^2 + \left( -\frac{267}{101^2} \cdot 1 \right)^2} \] \[ \Delta \rho = \sqrt{\left( \frac{1}{101} \right)^2 + \left( -\frac{267}{10201} \right)^2} \] \[ \Delta \rho \approx \sqrt{(0.0099)^2 + (-0.02617)^2} \] \[ \Delta \rho \approx \sqrt{0.00009801 + 0.00068487} \] \[ \Delta \rho \approx \sqrt{0.00078288} \approx 0.02798 \text{ г/см}^3 \]

   Округляем Δρ до тысячных долей: \[ \Delta \rho \approx 0.028 \text{ г/см}^3 \]

3. Вывод о наличии полости:

   Сравним измеренную плотность тела с плотностью алюминия. Измеренная плотность \[ \rho_{изм} \approx 2,64 \text{ г/см}^3 \]. Плотность алюминия \[ \rho_{ал} = 2,700 \text{ г/см}^3 \].

   Разница между плотностью алюминия и измеренной плотностью тела составляет:

   \[ \rho_{ал} - \rho_{изм} = 2,700 - 2,64 = 0,06 \text{ г/см}^3 \]

   Эта разница больше абсолютной погрешности измерения плотности ( \[ 0,06 > 0,028 \]).

   Вывод: Да, можно утверждать, что в теле есть полость. Измеренная плотность тела меньше плотности чистого алюминия, что указывает на наличие внутренних пустот (полости), уменьшающих общую плотность.

Ответ:

• Средняя плотность тела: \[ \rho \approx 2,64 \text{ г/см}^3 \]
• Абсолютная погрешность средней плотности: \[ \Delta \rho \approx 0.028 \text{ г/см}^3 \]
• Наличие полости: Да, в теле есть полость.