Ученик измерил объём шарообразного алюминиевого тела V = 102 см³ и его массу m = 270 г. Плотность алюминия считайте равной ρ_ал = 2,700 г/см³. 1. Рассчитайте среднюю плотность тела ρ. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность Δρ средней плотности, если считать, что массу ученик измерил с абсолютной погрешностью 1 г, а объём – с абсолютной погрешностью 1 см³. Округлите Δρ до тысячных долей. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли утверждать, что в теле есть полость? Свой ответ обоснуйте.

Дано:

• Объём (V): 102 см³
• Масса (m): 270 г
• Плотность алюминия (ρ_ал): 2,700 г/см³
• Погрешность массы (Δm): 1 г
• Погрешность объёма (ΔV): 1 см³

1. Расчёт средней плотности тела (ρ):

Плотность рассчитывается по формуле: $\rho =\frac{m}{V}=\frac{270г}{102{\mathrm{см}}^3}\approx \mathrm{2,647}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}$

2. Расчёт абсолютной погрешности средней плотности (Δρ):

Абсолютная погрешность плотности рассчитывается по формуле, учитывая относительные погрешности массы и объёма:

$\frac{\Delta \rho }{\rho }=\sqrt{{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)}^2+{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}^2}$

Сначала рассчитаем относительные погрешности:

• Относительная погрешность массы: $\frac{\Delta m}{m}=\frac{1г}{270г}\approx \mathrm{0,0037}$
• Относительная погрешность объёма: $\frac{\Delta V}{V}=\frac{1с{м}^3}{102с{м}^3}\approx \mathrm{0,0098}$

Теперь рассчитаем относительную погрешность плотности:

$\frac{\Delta \rho }{\rho }=\sqrt{{\left(\frac{1}{270}\right)}^2+{\left(\frac{1}{102}\right)}^2\approx \sqrt{\mathrm{0,0000137}+\mathrm{0,0000961}\approx \sqrt{\mathrm{0,0001098}\approx \mathrm{0,0105}}}}$

Абсолютная погрешность плотности:

$\Delta \rho =\rho \cdot \mathrm{0,0105}\approx \mathrm{2,647}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}\cdot \mathrm{0,0105}\approx \mathrm{0,0278}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}$

Округляем до тысячных долей: $\Delta \rho \approx \mathrm{0,028}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}$

3. Определение наличия полости:

Сравним полученную среднюю плотность тела с плотностью алюминия:

• Средняя плотность тела (ρ) ≈ 2,647 г/см³
• Плотность алюминия (ρ_ал) = 2,700 г/см³

Средняя плотность тела (2,647 г/см³) меньше плотности алюминия (2,700 г/см³). Это означает, что при тех же объёме и массе, тело имеет меньшую плотность. Если бы тело было изготовлено из чистого алюминия, его плотность была бы ближе к 2,700 г/см³. Следовательно, можно утверждать, что в теле есть полость (пустоты).

Ответ:

• Средняя плотность тела: $\rho \approx \mathrm{2,647}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}$
• Абсолютная погрешность средней плотности: $\Delta \rho \approx \mathrm{0,028}\frac{г}{{\mathrm{см}}^3}$
• Да, в теле есть полость, так как его средняя плотность меньше плотности алюминия.