Ученик измеряет коэффициент жесткости пружины. Удлинение пружины составляет x = 20 мм при приложенной силе F = 23 Н. 1. Рассчитайте коэффициент жесткости пружины k. 2. Рассчитайте абсолютную погрешность δk коэффициента жесткости пружины, если абсолютная погрешность измерения силы составляет 1 Н, а абсолютная погрешность измерения длины — 1 мм. Кратко поясните вычисления. 3. Можно ли с учётом погрешностей величины, считать, что жесткость пружины меньше 1200 Н/м? Свой ответ обоснуйте. Решение: Ответ:

Решение:

Сначала переведем все величины в систему СИ:

• Удлинение пружины $$x = 20 \text{ мм} = 0.02 \text{ м}$$
• Сила $$F = 23 \text{ Н}$$
• Погрешность силы $$\delta F = 1 \text{ Н}$$
• Погрешность длины $$\delta x = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м}$$

1. Расчет коэффициента жесткости пружины $$k$$:

Используем закон Гука: $$F = kx$$. Отсюда коэффициент жесткости $$k = \frac{F}{x}$$.

\[ k = \frac{23 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 1150 \text{ Н/м} \]

2. Расчет абсолютной погрешности $$\delta k$$:

Для расчета абсолютной погрешности коэффициента жесткости используем формулу:

\[ \delta k = \sqrt{\left(\frac{\partial k}{\partial F}\right)^2 \delta F^2 + \left(\frac{\partial k}{\partial x}\right)^2 \delta x^2} \]

Найдем частные производные:

\[ \frac{\partial k}{\partial F} = \frac{\partial}{\partial F} \left(\frac{F}{x}\right) = \frac{1}{x} = \frac{1}{0.02 \text{ м}} = 50 \text{ (Н/м)/Н}} \]

\[ \frac{\partial k}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{F}{x}\right) = -\frac{F}{x^2} = -\frac{23 \text{ Н}}{(0.02 \text{ м})^2} = -\frac{23}{0.0004} \text{ (Н/м)/м} = -57500 \text{ (Н/м)/м}} \]

Теперь подставим значения в формулу для $$\delta k$$:

\[ \delta k = \sqrt{(50^2 \times 1^2) + ((-57500)^2 \times 0.001^2)} \]

\[ \delta k = \sqrt{2500 + (3306250000 \times 0.000001)} \]

\[ \delta k = \sqrt{2500 + 3306.25} \]

\[ \delta k = \sqrt{5806.25} \approx 76.2 \text{ Н/м}} \]

Таким образом, коэффициент жесткости $$k = 1150 \pm 76.2 \text{ Н/м}}$$.

3. Обоснование:

Рассчитанное значение жесткости пружины находится в интервале от $$1150 - 76.2 = 1073.8 \text{ Н/м}$$ до $$1150 + 76.2 = 1226.2 \text{ Н/м}}$$.

Минимальное возможное значение жесткости (1073.8 Н/м) больше 1200 Н/м? Нет, оно меньше.

Ответ: Можно считать, что жесткость пружины меньше 1200 Н/м, так как нижняя граница интервала погрешности (1073.8 Н/м) меньше 1200 Н/м.