Углы $$АОВ$$ и $$BOC$$ — смежные, причём $$\angle AOB > \angle BOC$$. Из вершины $$O$$ проведён луч $$OM$$, перпендикулярный общей стороне $$OB$$ и лежащий в одной полуплоскости с лучом $$OA$$. Найдите градусную меру угла $$AOB$$, если угол между биссектрисой угла $$AOB$$ и лучом $$OM$$ равен $$18^\circ$$.

Question

Вопрос:

Углы $$АОВ$$ и $$BOC$$ — смежные, причём $$\angle AOB > \angle BOC$$. Из вершины $$O$$ проведён луч $$OM$$, перпендикулярный общей стороне $$OB$$ и лежащий в одной полуплоскости с лучом $$OA$$. Найдите градусную меру угла $$AOB$$, если угол между биссектрисой угла $$AOB$$ и лучом $$OM$$ равен $$18^\circ$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Пусть $ \angle BOC = \alpha $. Так как $ \angle AOB > \angle BOC $, то $ \angle AOB = \beta $, где $ \beta > \alpha $.

Углы $$AOB$$ и $$BOC$$ смежные, значит, $ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = \beta + \alpha $ или $ \angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = \beta - \alpha $.

Луч $$OM$$ перпендикулярен $$OB$$, значит, $ \angle BOM = 90^\circ $.

По условию, $ OM $ лежит в одной полуплоскости с лучом $$OA$$. Так как $ \angle AOB > \angle BOC $, то луч $$OB$$ находится между $$OA$$ и $$OC$$. Следовательно, $ OM $ находится между $$OA$$ и $$OB$$.

Угол между биссектрисой угла $$AOB$$ и лучом $$OM$$ равен $$18^\circ$$. Пусть $$OK$$ — биссектриса угла $$AOB$$. Тогда $ \angle AOK = \angle KOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{\beta}{2} $.

Так как $ OM $ лежит между $$OA$$ и $$OB$$, а $$OK$$ — биссектриса $$AOB$$, то $$OM$$ находится между $$OK$$ и $$OB$$.

Значит, $ \angle KOB = \angle KOM + \angle MOB $ или $ \angle KOB = \angle MOB - \angle KOM $.

Так как $ OM $ перпендикулярен $$OB$$, $ \angle MOB = 90^\circ $.

Рассмотрим два случая:

Если $$OM$$ находится между $$OA$$ и $$OK$$. Тогда $ \angle AOM = \angle AOK - \angle MOK = \frac{\beta}{2} - 18^\circ $.
Если $$OK$$ находится между $$OM$$ и $$OB$$. Тогда $ \angle MOK = \angle MOB - \angle KOB = 90^\circ - \frac{\beta}{2} = 18^\circ $.

Из второго случая: $ 90^\circ - \frac{\beta}{2} = 18^\circ $ $ \implies \frac{\beta}{2} = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ $ $ \implies \beta = 144^\circ $.

Проверим условие $ \angle AOB > \angle BOC $.

Если $ \beta = 144^\circ $, то $ \angle BOC = \alpha $. Угол $$AOC$$ — развёрнутый, $ \angle AOC = 180^\circ $.

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $ → $ 180^\circ = 144^\circ + \alpha $ → $ \alpha = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ $.

Условие $ \angle AOB > \angle BOC $ выполняется: $ 144^\circ > 36^\circ $.

Рассмотрим первый случай, если $ \angle AOM = \frac{\beta}{2} - 18^\circ $ и $ \angle AOB = \beta $.

$ \angle BOM = \angle BOA + \angle AOM $ → $ 90^\circ = \beta + (\frac{\beta}{2} - 18^\circ) $.

$ 90^\circ = \frac{3\beta}{2} - 18^\circ $ → $ 108^\circ = \frac{3\beta}{2} $ → $ \beta = \frac{108^\circ \cdot 2}{3} = 72^\circ $.

Если $ \beta = 72^\circ $, то $ \angle BOC = \alpha $. $ \angle AOC = \angle BOC - \angle BOA $ или $ \angle AOC = \angle BOA - \angle BOC $.

Так как $ \angle AOB > \angle BOC $, то $ \angle BOC $ меньше $ \angle AOB $.

$ \angle AOM = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ $.

$ \angle KOB = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ $.

$ \angle MOK = \angle KOB - \angle MOB = 36^\circ - 18^\circ = 18^\circ $.

В этом случае $ \angle AOB = 72^\circ $.

Проверим условие $ \angle AOB > \angle BOC $.

$ \angle BOC = \alpha $. $ \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ $ → $ 72^\circ + \alpha = 180^\circ $ → $ \alpha = 108^\circ $.

Это противоречит условию $ \angle AOB > \angle BOC $, так как $ 72^\circ \not> 108^\circ $.

Следовательно, $ \angle AOB = 144^\circ $.

Ответ: $$144^\circ$$.