Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны a и b, а средняя линия равна m. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (a+b)/2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований: |a-b|/2. По условию, углы при одном основании равны 18° и 72°. Сумма этих углов равна 18° + 72° = 90°. Это означает, что трапеция является прямоугольной, и отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией. Следовательно, m = 15. Тогда (a+b)/2 = 15, откуда a+b = 30. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен |a-b|/2 = 4, откуда |a-b| = 8. Решаем систему уравнений: a+b=30 и a-b=8 (или b-a=8). Если a-b=8, то 2a=38, a=19, b=11. Если b-a=8, то 2b=38, b=19, a=11. Основания трапеции равны 19 и 11.