30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами. Теорема Если стороны одного угла соответственно парал- лельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°. Доказательство Пусть ДАОВ И ДА101В1 данные углы и ОА | О1А1, ОВ || О₁В1. Если угол АОВ развёр- нутый, то и угол А1ОВ₁ развёрнутый (объясни- те почему), поэтому эти углы равны. Пусть угол АОВ неразвёрнутый. Возможные случаи располо- жения углов АОВ и А1О₁В1 изображены на ри- сунке 121, а и б. Прямая О₁В₁ пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллель- ные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересе- чении прямых О₁В₁ и ОА (угол 1 на рисунке 121), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Па- раллельные прямые ОА И О₁А₁ пересечены секу- щей ОМ, поэтому либо ∠1 = ∠A₁O₁B₁ (рис. 121, а), либо 21+ZA₁O₁B₁ = 180° (рис. 121, б). Из равен- ства 21 = ∠AOB и последних двух равенств сле- дует, что либо ∠AOB = ∠А1О₁В₁ (см. рис. 121, а), либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180° (см. рис. 121, б). Теорема доказана. Докажем теперь теорему об углах с соот- ветственно перпендикулярными сторонами.

Question

Вопрос:

30. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами. Теорема Если стороны одного угла соответственно парал- лельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°. Доказательство Пусть ДАОВ И ДА101В1 данные углы и ОА | О1А1, ОВ || О₁В1. Если угол АОВ развёр- нутый, то и угол А1ОВ₁ развёрнутый (объясни- те почему), поэтому эти углы равны. Пусть угол АОВ неразвёрнутый. Возможные случаи располо- жения углов АОВ и А1О₁В1 изображены на ри- сунке 121, а и б. Прямая О₁В₁ пересекает прямую О1А1 и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллель- ные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересе- чении прямых О₁В₁ и ОА (угол 1 на рисунке 121), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Па- раллельные прямые ОА И О₁А₁ пересечены секу- щей ОМ, поэтому либо ∠1 = ∠A₁O₁B₁ (рис. 121, а), либо 21+ZA₁O₁B₁ = 180° (рис. 121, б). Из равен- ства 21 = ∠AOB и последних двух равенств сле- дует, что либо ∠AOB = ∠А1О₁В₁ (см. рис. 121, а), либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180° (см. рис. 121, б). Теорема доказана. Докажем теперь теорему об углах с соот- ветственно перпендикулярными сторонами.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Теорема гласит, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

Доказательство:

1) Рассмотрим углы ∠AOB и ∠A₁O₁B₁, где OA || O₁A₁ и OB || O₁B₁.

2) Если угол AOB развёрнутый, то и угол A₁O₁B₁ развёрнутый, и они равны.

3) Рассмотрим случай, когда углы AOB и A₁O₁B₁ неразвёрнутые. Возможные случаи расположения этих углов изображены на рисунке 121, а и б.

4) Прямая O₁B₁ пересекает прямую O₁A₁ и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую OA в некоторой точке M.

5) Параллельные прямые OB и O₁B₁ пересечены секущей OM, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых O₁B₁ и OA (угол 1 на рисунке 121), равен углу AOB как накрест лежащие углы.

6) Параллельные прямые OA и O₁A₁ пересечены секущей O₁M, поэтому либо ∠1 = ∠A₁O₁B₁ (рис. 121, а), либо ∠1 + ∠A₁O₁B₁ = 180° (рис. 121, б).

7) Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A₁O₁B₁ (см. рис. 121, а), либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180° (см. рис. 121, б).

Теорема доказана.

Ответ: Теорема доказана.