Углы треугольника ABC относятся как ∠A : ∠B : ∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 8. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

• Пусть коэффициент пропорциональности равен x. Тогда углы треугольника будут: ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.
• Сумма углов треугольника равна 180°:

\[x + 2x + 3x = 180^{\circ}\] \[6x = 180^{\circ}\] \[x = 30^{\circ}\]

• Теперь найдем градусные меры углов:

\[∠A = 30^{\circ}\] \[∠B = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\] \[∠C = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}\]

• Получается, что треугольник ABC — прямоугольный, так как ∠C = 90°.
• Биссектриса BM делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = \(\frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).
• Рассмотрим треугольник BMC. В нем ∠MBC = 30°, ∠C = 90°, следовательно, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.
• Так как BM — биссектриса и BM = 8, то в прямоугольном треугольнике BMC против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
• MC — катет, лежащий против угла в 30°, а BM — гипотенуза.
• Следовательно, MC = \(\frac{1}{2}\) * BM

\[MC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\]

Ответ: MC = 4