Углы треугольника ABC относятся так: ∠A: ∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 30. Найдите длину отрезка MC.

Решение:

• Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Тогда:

\[x + 2x + 3x = 180°\]\[6x = 180°\]\[x = 30°\]

• Следовательно, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом при вершине C.
• BM — биссектриса угла ABC, значит, ∠ABM = ∠MBC = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.
• Рассмотрим треугольник BMC. В нем ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Тогда ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.
• Поскольку треугольник BMC имеет углы 30°, 60° и 90°, он является прямоугольным.
• Так как BM — биссектриса и равна 30, можем использовать тригонометрические функции.

• В прямоугольном треугольнике BMC:

\[\sin(\angle CBM) = \frac{MC}{BM}\]\[\sin(30°) = \frac{MC}{30}\]\[MC = 30 \cdot \sin(30°)\]\[MC = 30 \cdot \frac{1}{2}\]\[MC = 15\]

Ответ: MC = 15