2). Углы треугольника ABC относятся так: ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 6. Найдите длину отрезка MC.

1. Найдем величины углов треугольника ABC. Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = 2x\) и \(\angle C = 3x\). Сумма углов треугольника равна 180 градусам: \[x + 2x + 3x = 180^\circ\]\[6x = 180^\circ\]\[x = 30^\circ\] Следовательно, \(\angle A = 30^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\) и \(\angle C = 90^\circ\). 2. Рассмотрим треугольник ABM. BM - биссектриса угла B, следовательно, \(\angle ABM = \angle MBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} cdot 60^\circ = 30^\circ\). 3. В треугольнике ABM \(\angle BAM = 30^\circ\) и \(\angle ABM = 30^\circ\), значит, треугольник ABM равнобедренный, и AM = BM = 6. 4. Рассмотрим треугольник ABC. Так как \(\angle C = 90^\circ\), то AC - катет, лежащий против угла B, равного 60 градусам. Также AM + MC = AC. Тогда AC = AM + MC = 6 + MC. 5. Найдем AC через тангенс угла B в треугольнике ABC. \[\tan(\angle B) = \frac{AC}{BC}\] Чтобы найти MC, нам нужно связать AC и MC. Угол C прямой. Нужно найти BC, чтобы определить AC. 6. Рассмотрим треугольник BMC. Угол MBC равен 30 градусам, а угол C равен 90 градусам, следовательно, угол BMC равен 60 градусам. BM = 6, нужно найти MC. \[\frac{MC}{BM} = \cot(\angle MBC)\] \[MC = BM \cdot \cot(30^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}\] Ответ: \(MC = 6\sqrt{3}\)