Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1:2:3. Биссектриса BM угла AB равна 20. Найдите длину отрезка MC.

Пошаговое решение:

1. Пусть углы треугольника равны \(x\), \(2x\) и \(3x\). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому: \[x + 2x + 3x = 180°\]\[6x = 180°\]\[x = 30°\]Значит, углы треугольника ABC равны: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.
2. Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°).
3. Биссектриса BM делит угол B пополам, поэтому ∠ABM = ∠MBC = 60° / 2 = 30°.
4. Рассмотрим треугольник ABM. В нём ∠A = 30°, ∠ABM = 30°, следовательно, треугольник ABM — равнобедренный (AM = BM).
5. По условию, BM = 20, следовательно, AM = 20.
6. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, \(\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}\)
7. В прямоугольном треугольнике ABC, \(\angle A = 30°\), значит, катет BC равен половине гипотенузы AB (как катет, лежащий против угла в 30°). Обозначим BC = a, тогда AB = 2a.
8. Подставим найденные значения в пропорцию: \(\frac{20}{MC} = \frac{2a}{a}\)
9. Сократим правую часть: \(\frac{20}{MC} = 2\)
10. Выразим MC: \(MC = \frac{20}{2} = 10\)

Ответ: MC = 10