Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 10. Найдите длину отрезка MC.

Краткая запись:

• Углы треугольника ABC: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3
• Биссектриса BM = 10
• Найти: MC — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим величину углов треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Тогда x + 2x + 3x = 180°, откуда 6x = 180°, следовательно, x = 30°. Итак, ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.
2. Шаг 2: Определяем угол ∠ABM. Так как BM — биссектриса угла ∠ABC, то она делит его пополам: ∠ABM = ∠ABC / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. Шаг 3: Рассматриваем треугольник ABM. У него ∠A = 30° и ∠ABM = 30°. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM. Значит, AB = BM = 10.
4. Шаг 4: Применяем теорему о биссектрисе. Теорема гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае: \( \frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} \).
5. Шаг 5: Находим длину стороны BC. Треугольник ABC — прямоугольный (∠C = 90°). Мы знаем ∠A = 30° и AB = 10 (гипотенуза). Используем соотношения в прямоугольном треугольнике: \( BC = AB · · · · · \). \( BC = 10 · · · 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).
6. Шаг 6: Находим длину отрезка AM. Так как треугольник ABM равнобедренный (AB = BM = 10), то AM = 10.
7. Шаг 7: Находим длину отрезка MC. Подставляем известные значения в теорему о биссектрисе: \( \frac{10}{MC} = \frac{10}{5} \). Отсюда \( 10 · 5 = 10 · MC \), \( 50 = 10 · MC \), \( MC = \frac{50}{10} = 5 \).

Ответ: MC = 5