Углы треугольника АВС относятся как ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 4. Найдите длину отрезка МС.

Пусть углы треугольника равны x, 2x, 3x. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, x + 2x + 3x = 180°, откуда 6x = 180°, и x = 30°.

Углы треугольника равны: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.

Так как ∠C = 90°, треугольник ABC является прямоугольным. Биссектриса BM делит угол B (60°) пополам, то есть ∠ABM = ∠MBC = 30°.

Рассмотрим треугольник BCM. Углы треугольника равны: ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Следовательно, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике BCM, напротив равных углов лежат равные стороны. Углы ∠MBC и ∠BMC равны 30° и 60° соответственно. Угол ∠C = 90°. В треугольнике BCM, ∠MBC = 30°, ∠BMC = 60°, ∠C = 90°. Сторона MC лежит напротив угла ∠MBC = 30°. Сторона BC лежит напротив угла ∠BMC = 60°. Сторона BM лежит напротив угла ∠C = 90°.

В прямоугольном треугольнике BCM, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, MC = BM / 2.

По условию, биссектриса BM равна 4. Тогда MC = 4 / 2 = 2.