Углы треугольника АВС относятся так: ∠A:∠B:∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 6. Найдите длину отрезка МС.

Пусть ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°.

$$ x + 2x + 3x = 180° $$ $$ 6x = 180° $$ $$ x = 30° $$

Тогда ∠A = 30°, ∠B = 2 * 30° = 60°, ∠C = 3 * 30° = 90°.

Так как BM - биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠A = 30°, ∠ABM = 30°. Значит, треугольник ABM - равнобедренный, и AM = BM = 6.

Рассмотрим треугольник BМС. В нем ∠MBC = 30°, ∠C = 90°. Следовательно, это прямоугольный треугольник с углом 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, BM = 6 является катетом, прилежащим к углу 30°, a MC - катет, противолежащий углу 30°.

Тогда гипотенуза BC = 2*BM = 2 * MC.

По теореме Пифагора:

$$ BM^2 + MC^2 = BC^2 $$ $$ 6^2 + MC^2 = (2MC)^2 $$ $$ 36 + MC^2 = 4MC^2 $$ $$ 3MC^2 = 36 $$ $$ MC^2 = 12 $$ $$ MC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $$

Ответ: $$2\sqrt{3}$$