1. Углы треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 4. Найдите все углы треугольника. 2. AC — касательная, AB — хорда окружности с центром в точке O, ∠BAC = 75°. Чему равен угол AOB (см. рис.)? 3. AD и CE — биссектрисы равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Докажите, что △AEC=△CDA.

Задание 1

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Сумма углов треугольника равна 180°.

• Составим уравнение: 2x + 3x + 4x = 180°
• 9x = 180°
• x = 20°

Тогда углы треугольника равны:

• 2x = 2 * 20° = 40°
• 3x = 3 * 20° = 60°
• 4x = 4 * 20° = 80°

Ответ: 40°, 60°, 80°

Задание 2

Т.к. AC - касательная, то угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. Значит, дуга AB = 2 * ∠BAC = 2 * 75° = 150°.

Центральный угол AOB опирается на дугу AB, поэтому ∠AOB = дуга AB = 150°.

Ответ: 150°

Задание 3

Дано: ΔABC - равнобедренный, AD и CE - биссектрисы, AC - основание. Доказать: ΔAEC = ΔCDA

Доказательство:

1. Т.к. ΔABC - равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.
2. Т.к. AD и CE - биссектрисы, то ∠ECA = 1/2 * ∠BCA и ∠DAC = 1/2 * ∠BAC.
3. Следовательно, ∠ECA = ∠DAC (т.к. ∠BAC = ∠BCA).
4. Рассмотрим ΔAEC и ΔCDA:
• AC - общая сторона
• ∠ECA = ∠DAC (доказано выше)
• ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника)
5. Следовательно, ΔAEC = ΔCDA (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Ответ: Треугольники AEC и CDA равны.