1. Углы треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 4. Найдите все углы треугольника. 2. АС – касательная, АВ– хорда окружности с центром в точке О, ∠ВАС = 75°. Чему равен угол АОВ (см. рис.)? 3. AD и СЕ — биссектрисы равнобедренного треугольника АВС с основанием АС. Докажите, что △AEC = △CDA.

Решение задачи №1

Пусть углы треугольника равны 2x, 3x и 4x. Сумма углов треугольника равна 180°.

• Составим уравнение: 2x + 3x + 4x = 180°
• 9x = 180°
• x = 20°

Тогда углы треугольника равны:

• 2x = 2 * 20° = 40°
• 3x = 3 * 20° = 60°
• 4x = 4 * 20° = 80°

Ответ: 40°, 60°, 80°

Решение задачи №2

\[\angle BAC = 75^\circ\]

Т.к. АС - касательная, то \( \angle OAC = 90^\circ \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

• Найдем угол \(\angle OAB\): \(\angle OAB = \angle OAC - \angle BAC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ\).
• Треугольник OAB - равнобедренный (OA = OB как радиусы), значит \(\angle OBA = \angle OAB = 15^\circ\).
• Найдем угол \(\angle AOB\): \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 150^\circ\).

Ответ: 150°

Решение задачи №3

Дано: AD и CE - биссектрисы равнобедренного треугольника ABC с основанием AC.

Доказать: \(\triangle AEC = \triangle CDA\)

Доказательство:

• Т.к. \(\triangle ABC\) - равнобедренный, то \(\angle BAC = \angle BCA\).
• AD и CE - биссектрисы, значит \(\angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC\) и \(\angle ECA = \frac{1}{2} \angle BCA\).
• Следовательно, \(\angle DAC = \angle ECA\).
• AC - общая сторона.
• В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно \(AB=BC\). Т.к. AD и CE - биссектрисы, то \(AE = \frac{1}{2}AB\) и \(CD = \frac{1}{2}BC\). Следовательно, \(AE = CD\).
• Таким образом, \(\triangle AEC = \triangle CDA\) по двум сторонам и углу между ними (AC - общая, AE = CD, \(\angle DAC = \angle ECA\)).

Что и требовалось доказать.