Угол ABD, изображенный на рисунке, равен 84°, внутри угла проведен луч AC. Окружности с центрами O₁ и O₂ вписаны соответственно в углы ABC и CBD. Найдите ∠O₁BO₂.

Решение:

Угол ABD состоит из углов ABC и CBD. Значит, ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 84°.

Так как BO₁ и BO₂ — биссектрисы углов ABC и CBD соответственно, то ∠O₁BC = \(\frac{1}{2}\)∠ABC и ∠O₂BC = \(\frac{1}{2}\)∠CBD.

Угол O₁BO₂ можно выразить как сумму половин углов ABC и CBD: ∠O₁BO₂ = \(\frac{1}{2}\)∠ABC + \(\frac{1}{2}\)∠CBD = \(\frac{1}{2}\)(∠ABC + ∠CBD).

Подставляем известное значение суммы углов ABC и CBD: ∠O₁BO₂ = \(\frac{1}{2}\) * 84°.

∠O₁BO₂ = 42°

Ответ: 42°