3. Угол АОВ в 2 раза больше угла ВОС. ОК – биссектриса угла ВОС, OM – биссектриса угла АОВ. Найди угол МОК.

Решение:

Пусть угол $$\angle BOC = x$$, тогда $$ \angle AOB = 2x$$.

$$OK$$ - биссектриса угла $$BOC$$, следовательно, $$ \angle KOC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{x}{2}$$.

$$OM$$ - биссектриса угла $$AOB$$, следовательно, $$ \angle AOM = \angle MOB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{2x}{2} = x$$.

Тогда $$ \angle MOK = \angle MOB + \angle BOC + \angle KOC = x + x + \frac{x}{2} = 2x + \frac{x}{2} = 2\frac{1}{2}x = 2.5x$$.

Угол $$MOK$$ - развернутый, следовательно, его градусная мера равна $$180^\circ$$.

Получаем, что $$2,5x = 180$$

Отсюда $$x = \frac{180}{2,5} = \frac{1800}{25} = \frac{360}{5} = 72^\circ$$.

Получаем, что $$ \angle KOC = \frac{x}{2} = \frac{72}{2} = 36^\circ$$.

$$ \angle AOB = 2x = 2 \cdot 72 = 144^\circ$$.

$$ \angle AOK = \angle AOB + \angle BOK = 144 + 36 = 180^\circ$$.

Следовательно, точки $$A$$, $$O$$ и $$K$$ лежат на одной прямой.

Тогда $$ \angle MOK = \angle AOK - \angle AOM = 180 - 72 = 108^\circ$$.

Ответ: 108°