Угол АСВ равен 34°, его сторона СА касается окружности в точке А. Градусная мера дуги АВ окружности, не содержащей точки Е, равна 124°. Найдите угол АВЕ (см. рис.). Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Угол САВ — это вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
• Дуга АВ (не содержащая точки E) = 124°.
• Угол САВ = 124° / 2 = 62°.
• Угол АСВ = 34° (дано).
• Угол АВС в треугольнике АВС = 180° - (угол САВ + угол АСВ) = 180° - (62° + 34°) = 180° - 96° = 84°.
• Угол АВЕ — это вписанный угол, опирающийся на дугу АЕ.
• Угол САВ — это угол между касательной СА и хордой АВ. Он равен половине градусной меры дуги АВ, на которую он опирается.
• Угол АВЕ является частью угла АВС.
• Угол АВС = 84° (найдено выше).
• Угол АВЕ = Угол АВС - Угол СВЕ.
• Угол СВЕ — опирается на дугу СЕ.
• Угол САВ = 62°.
• Угол АСВ = 34°.
• Угол СВЕ = 180° - (угол АСВ + угол САВ) = 180° - (34° + 62°) = 180° - 96° = 84°.
• Угол АВЕ = 84° - 84° = 0° — это неверно.
• Переосмысление:
• Угол САВ = 62° (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту же дугу).
• Угол АВС = 180° - 62° - 34° = 84°.
• Дуга АЕ = 2 * угол АСЕ.
• Угол АВЕ — это вписанный угол, опирающийся на дугу АЕ.
• Градусная мера дуги АЕ = 360° - (дуга АВ + дуга ВЕ).
• Дуга АВ = 124°.
• Угол АСВ = 34°. Это центральный угол, если С - центр. Но С не центр.
• Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу АВ. Тогда дуга АВ = 2 * 34° = 68°. Но дано, что дуга АВ = 124°. Следовательно, угол АСВ не опирается на дугу АВ.
• Угол САВ = 62° (угол между касательной и хордой).
• Угол СВА = 180° - 62° - 34° = 84°.
• Угол АВЕ — вписанный угол. Он опирается на дугу АЕ.
• Угол САВ = 62° (угол между касательной CA и хордой AB равен половине дуги AB).
• Дуга AB = 124° (дано).
• Угол АЕВ - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Угол АЕВ = 124°/2 = 62°.
• Угол АСВ = 34°.
• Угол СВА = 180° - (62° + 34°) = 180° - 96° = 84°.
• Угол АВЕ = ?
• Угол АВЕ — это часть угла АВС.
• Угол СВЕ = ?
• Угол САВ = 62°.
• Угол АВС = 84°.
• Угол АВЕ = Угол АВС - Угол СВЕ = 84° - Угол СВЕ.
• Угол СВА = 84°.
• Угол АВЕ + Угол СВЕ = Угол АВС = 84°.
• Нам нужно найти угол АВЕ.
• Угол САВ = 62°.
• Дуга АВ = 124°.
• Угол АСВ = 34°.
• Угол АВЕ опирается на дугу АЕ.
• Найдем дугу AE.
• Угол BCE - не известен.
• Угол ABC = 84°.
• Угол ABE - ?
• Угол CAE - не известен.
• Угол CAE = 180 - 62 - 34 = 84 - неверно.
• В треугольнике ABC:
• Угол А = 62° (угол между касательной и хордой).
• Угол С = 34° (дан).
• Угол В = 180° - (62° + 34°) = 180° - 96° = 84°.
• Угол АВС = 84°.
• Угол АВЕ является частью угла АВС.
• Угол САВ = 62°.
• Угол АВЕ опирается на дугу АЕ.
• Угол АСВ = 34°.
• Угол АЕВ = 124°/2 = 62°.
• Сумма углов в треугольнике АЕВ:
• Угол АЕВ = 62°.
• Угол ЕАВ = ?
• Угол АВЕ = ?
• Угол САВ = 62°.
• Угол СВА = 84°.
• Угол АВС = 84°.
• Угол АВЕ = ?
• Пусть O - центр окружности.
• Дуга АВ = 124°.
• Угол АОВ = 124°.
• Угол САВ = 124°/2 = 62°.
• В треугольнике АВС:
• Угол А = 62°.
• Угол С = 34°.
• Угол В = 180° - (62° + 34°) = 84°.
• Угол АВС = 84°.
• Угол АВЕ - искомый.
• Угол СВА = 84°.
• Угол АВЕ + Угол СВЕ = 84°.
• Угол СВЕ опирается на дугу СЕ.
• Угол САЕ опирается на дугу СЕ.
• Дуга СЕ = 2 * угол САЕ.
• Угол СВЕ = угол САЕ.
• Угол САВ = 62°.
• Угол СВА = 84°.
• Угол АСВ = 34°.
• Угол АВЕ + Угол СВЕ = 84°.
• Угол АВЕ = 84° - Угол СВЕ.
• Угол САВ = 62°.
• Угол СВА = 84°.
• Угол АЕВ = 62°.
• Треугольник АЕВ:
• Угол АЕВ = 62°.
• Угол ЕАВ = ?
• Угол АВЕ = ?
• Угол ЕАВ = Угол САВ - Угол САЕ = 62° - Угол САЕ.
• Угол АВЕ = 84° - Угол СВЕ.
• Угол СВЕ = Угол САЕ.
• Угол АВЕ = 84° - Угол САЕ.
• Сумма углов в треугольнике АЕВ:
• 62° + (62° - Угол САЕ) + (84° - Угол САЕ) = 180°.
• 124° + 84° - 2 * Угол САЕ = 180°.
• 208° - 2 * Угол САЕ = 180°.
• 2 * Угол САЕ = 208° - 180° = 28°.
• Угол САЕ = 14°.
• Угол АВЕ = 84° - 14° = 70°.

Проверка:

• Угол САЕ = 14°.
• Угол АВЕ = 70°.
• Угол ЕАВ = 62° - 14° = 48°.
• Сумма углов в треугольнике АЕВ: 62° + 48° + 70° = 180°. Верно.

Ответ: 70