3. Угол АВС и угол DCB равны 90°, AC=BD. Доказать, что AD = CD.

Дано:

• Угол ABC = углу DCB = 90°
• AC = BD

Доказать:

AD = CD

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и DCB. У них:
   • Угол ABC = углу DCB = 90° (по условию)
   • AC = BD (по условию)
   • BC – общая сторона
2. Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
   • AB = DC
4. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. У них:
   • AC = BD (по условию)
   • AB = DC (доказано выше)
   • AD – общая сторона
5. Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
   • угол BAD = углу CDA
7. Рассмотрим треугольники AOD и DOC. У них:
   • угол BAD = углу CDA (доказано выше)
   • AO = OC (так как диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам)
   • угол AOD = углу DOC (вертикальные углы)
8. Следовательно, треугольники AOD и DOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
9. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:
   • AD = CD

Что и требовалось доказать.