Угол между биссектрисой угла ABC и лучом, дополнительным к стороне BA, равен 124°. Найдите угол ABC. Какой угол образует биссектриса угла, равного 5 с лучом, дополнительным к одной из его сторон? На рисунке 21 прямые AD, BE и CF пересекаются в точке О. Луч ОЕ — биссектриса угла FOD. Найдите угол BOD, если ∠FOE = 42'.

Разбираемся с геометрическими задачками!

Решение:

1. Пусть угол между биссектрисой угла ABC и лучом, дополнительным к стороне BA, равен 124°. Обозначим угол между биссектрисой и стороной BA как x. Тогда угол между биссектрисой и лучом, дополнительным к стороне BA, равен 180° - x.

• Получаем уравнение: \( 180° - x = 124° \)
• Решаем уравнение: \( x = 180° - 124° = 56° \)

2. Так как биссектриса делит угол ABC пополам, то угол ABC равен \( 2 \cdot x = 2 \cdot 56° = 112° \).

Ответ: угол ABC равен 112°.

3. Какой угол образует биссектриса угла, равного 5 с лучом, дополнительным к одной из его сторон? Обозначим угол, равный 5, как угол α. Биссектриса делит угол α пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной угла равен \( \frac{α}{2} \).

• Угол между биссектрисой и лучом, дополнительным к стороне угла, равен \( 180° - \frac{α}{2} \).
• Подставляем значение угла α = 5: \( 180° - \frac{5}{2} = 180° - 2.5° = 177.5° \).

Ответ: угол равен 177.5°.

4. На рисунке 21 прямые AD, BE и CF пересекаются в точке О. Луч ОЕ — биссектриса угла FOD. Найдите угол BOD, если ∠FOE = 42°. Так как ОЕ — биссектриса угла FOD, то угол DOE равен углу FOE, то есть \( ∠DOE = ∠FOE = 42° \).

• Угол FOD равен \( 2 \cdot ∠FOE = 2 \cdot 42° = 84° \).
• Угол FOD и угол BOC - вертикальные углы, следовательно \( ∠BOC = ∠FOD = 84° \).
• Угол DOE и угол AOC - вертикальные углы, следовательно \( ∠AOC = ∠DOE = 42° \).

5. Угол BOD и угол AOC - смежные углы, следовательно \( ∠BOD + ∠AOC = 180° \).

• \( ∠BOD = 180° - ∠AOC = 180° - 42° = 138° \).

Ответ: угол BOD равен 138°.