351 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Давайте решим эту задачу вместе. Дано: * Окружность с центром в точке O. * AB - диаметр. * $$\angle BAC = 30^\circ$$. * CD - касательная к окружности в точке C. * CD пересекает AB в точке D. Требуется доказать: * Треугольник $$\triangle ACD$$ - равнобедренный. Доказательство: 1. Так как AB - диаметр, то $$\angle ACB = 90^\circ$$ (угол, опирающийся на диаметр, прямой). 2. Рассмотрим $$\triangle ABC$$. В нем $$\angle BAC = 30^\circ$$ и $$\angle ACB = 90^\circ$$, следовательно, $$\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. 3. Так как CD - касательная к окружности в точке C, то $$\angle OCD = 90^\circ$$ (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 4. Рассмотрим $$\triangle AOC$$. Он равнобедренный, так как AO = OC (радиусы одной и той же окружности). Следовательно, $$\angle OAC = \angle OCA = 30^\circ$$. 5. Найдем $$\angle ACD$$. $$\angle ACD = \angle OCD - \angle OCA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$. 6. Найдем $$\angle ADC$$. $$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD $$. Угол $$\angle DAC = \angle BAC = 30^\circ$$, следовательно, $$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD = 180^\circ - (180^\circ - 60^\circ) - 30^\circ = 30^\circ$$. 7. В $$\triangle ACD$$ имеем $$\angle DAC = 30^\circ$$ и $$\angle ADC = 30^\circ$$. Следовательно, $$\triangle ACD$$ - равнобедренный (так как углы при основании равны). Что и требовалось доказать. Развернутый ответ для школьника: Чтобы доказать, что треугольник ACD равнобедренный, нужно показать, что у него два угла равны. Мы знаем, что угол BAC равен 30 градусам. Так как AB - это диаметр, угол ACB прямой, то есть 90 градусов. Зная два угла в треугольнике ABC, можно найти третий угол ABC, он равен 60 градусам. Далее, поскольку CD - касательная, угол OCD равен 90 градусам. Треугольник AOC равнобедренный (AO и OC - радиусы), поэтому угол OCA равен углу OAC, то есть 30 градусам. Теперь можно найти угол ACD как разность углов OCD и OCA, он равен 60 градусам. Зная углы DAC (30 градусов) и ACD (60 градусов), можно найти угол ADC, который также равен 30 градусам. Таким образом, в треугольнике ACD углы DAC и ADC равны 30 градусам, что означает, что треугольник ACD равнобедренный, так как у него два равных угла.