Угол между диаметром MN и хордой МС равен 30°. Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую MN в точке D. Найдите длину отрезка CD, если MC = 14. CD=

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Нам дан угол между диаметром и хордой, и нужно найти длину отрезка касательной.

1. Угол между хордой и диаметром: Угол \( \angle CMN = 30^{\circ} \).

2. Угол между касательной и хордой: Угол \( \angle MCD \) равен углу \( \angle CMN \) как угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, то есть \( \angle MCD = 30^{\circ} \).

3. Равнобедренный треугольник: Рассмотрим треугольник \( \triangle CMD \). Угол \( \angle CMD = \angle MCD = 30^{\circ} \). Значит, \( \triangle CMD \) равнобедренный, и \( CD = MD \).

4. Применим теорему о касательной и секущей: По теореме о касательной и секущей, проведенной из точки вне окружности, имеем \( CD^2 = MD \cdot ND \). Так как \( CD = MD \), то \( CD^2 = CD \cdot ND \), откуда следует, что \( CD = ND \).

5. Выразим MN через радиус: Так как \( MN \) - диаметр, то \( MN = 2R \), где \( R \) - радиус окружности.

6. Выразим MD через MN и ND: Мы знаем, что \( MD = CD \). Также \( MN = MD + ND \), то есть \( 2R = CD + CD = 2CD \), следовательно, \( CD = R \).

7. Применим теорему синусов для треугольника CMN: По теореме синусов, \( \frac{MC}{\sin \angle CNM} = 2R \). Знаем, что \( MC = 14 \), а \( \angle CMN = 30^{\circ} \), значит, \( \angle CNM = 90^{\circ} \) (так как опирается на диаметр). Тогда \( \sin 90^{\circ} = 1 \). Значит, \( \frac{14}{1} = 2R \), откуда \( R = 7 \).

8. Найдем CD: Мы выяснили, что \( CD = R \), следовательно, \( CD = 7 \).

Ответ: 7

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!