Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 65°. Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Пусть дан угол между двумя касательными, проведенными из точки вне окружности, равный $$\alpha = 65^\circ$$. Нужно найти градусную меру меньшей дуги, заключенной между точками касания. Обозначим точки касания как A и B, а центр окружности как O. Тогда угол между касательной и радиусом, проведенным в точку касания, равен 90°. Следовательно, углы OAB и OBA - прямые углы. Рассмотрим четырехугольник, образованный точкой пересечения касательных (назовем ее C), точками касания A и B и центром окружности O. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Таким образом, в четырехугольнике CAOB, угол AOB равен: $$\angle AOB = 360^\circ - \angle OAC - \angle OBC - \angle ACB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$ Центральный угол AOB опирается на дугу AB, градусная мера которой равна градусной мере центрального угла, то есть $$115^\circ$$. Эта дуга является меньшей из двух дуг, заключенных между точками касания A и B. Большая дуга равна $$360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$$. Таким образом, градусная мера меньшей дуги равна 115°. Ответ: 115