3. Угол между плоскостями треугольников АВС и АКС равен 60°, АС = 24 см, ВС = ВА = 20 см, КС = КА = 15 см. Найдите отрезок ВК.

1. Пусть BD - медиана треугольника ABC, KD - медиана треугольника AKC. Так как BC = BA и KC = KA, медианы BD и KD являются также высотами.

2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как BA = BC = 20 см и AC = 24 см, то AD = DC = 12 см. По теореме Пифагора:

$$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}$$

3. Рассмотрим треугольник AKC. Так как KA = KC = 15 см и AC = 24 см, то AD = DC = 12 см. По теореме Пифагора:

$$KD = \sqrt{KA^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$$

4. Угол между плоскостями ABC и AKC равен 60°, следовательно, угол BDK = 60°.

5. Рассмотрим треугольник BDK. По теореме косинусов:

$$BK^2 = BD^2 + KD^2 - 2 \cdot BD \cdot KD \cdot \cos{\angle BDK}$$ $$BK^2 = 16^2 + 9^2 - 2 \cdot 16 \cdot 9 \cdot \cos{60^\circ} = 256 + 81 - 2 \cdot 16 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 337 - 144 = 193$$ $$BK = \sqrt{193} \text{ см}$$

Ответ: $$\sqrt{193} \text{ см}$$