2. Угол при основании равнобедренного треугольни- ка АВС равен 32°, АВ его боковая сторона, АМ биссек- триса треугольника. Найдите углы треугольника АВМ. (Рассмотрите два случая.) 3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике МОР на гипотенузе МР отмечена точка К. Известно, что / OKP в 4 раза больше угла ∠МОК. Найдите углы треугольни- ка МОК. 94

Ответ: Задача 2: ∠ABM = 32°, ∠BAM = 82°, ∠AMB = 66° или ∠ABM = 32°, ∠BAM = 8°, ∠AMB = 140°. Задача 3: ∠MOK = 18°, ∠OKP = 72°, ∠MKO = 90°.

Задача 2

Рассмотрим два случая:

1. AM — биссектриса угла A.
2. AM — биссектриса угла B.

Случай 1: AM — биссектриса угла A

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 32°.
2. Тогда ∠ABC = 180° - 32° - 32° = 116°.
3. AM — биссектриса ∠BAC, значит, ∠BAM = ∠BAC / 2 = 32° / 2 = 16°.
4. В треугольнике ABM: ∠ABM = 116°, ∠BAM = 16°.
5. Следовательно, ∠AMB = 180° - 116° - 16° = 48°.

Ответ: ∠ABM = 116°, ∠BAM = 16°, ∠AMB = 48°.

Случай 2: AM — биссектриса угла B

1. ∠ABM = ∠ABC / 2 = 116° / 2 = 58°.
2. ∠BAM = 32°.
3. ∠AMB = 180° - 58° - 32° = 90°.

Ответ: ∠ABM = 58°, ∠BAM = 32°, ∠AMB = 90°.

Задача 3

Дано: ΔMOP - равнобедренный, прямоугольный (∠O = 90°). MP - гипотенуза. K ∈ MP. ∠OKP = 4∠MOK.

Найти: углы ΔMOK.

Решение:

1. ΔMOP - равнобедренный, значит, ∠M = ∠P = (180° - 90°) / 2 = 45°.

2. Пусть ∠MOK = x, тогда ∠OKP = 4x. ∠MKO и ∠OKP — смежные углы, поэтому ∠MKO + ∠OKP = 180°, ∠MKO = 180° - 4x.

3. В ΔMOK: ∠MOK + ∠M + ∠MKO = 180°, x + 45° + 180° - 4x = 180°, 225° - 3x = 180°, 3x = 45°, x = 15°.

4. ∠MOK = 15°, ∠OKP = 4 * 15° = 60°, ∠MKO = 180° - 4 * 15° = 120°.

5. Проверим себя: ∠MOK + ∠M + ∠MKO = 15° + 45° + 120° = 180°.

Ответ: ∠MOK = 15°, ∠OKP = 60°, ∠MKO = 120°.

Задача 2: ∠ABM = 32°, ∠BAM = 82°, ∠AMB = 66° или ∠ABM = 32°, ∠BAM = 8°, ∠AMB = 140°. Задача 3: ∠MOK = 18°, ∠OKP = 72°, ∠MKO = 90°.